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一般教科
最終更新日 : 2021/02/20
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行列の基礎2演習

行列の基礎2の演習問題です。
解答・解説は記事の最後に書きます。

1.次の行列を計算してみましょう



2.次の行列の、逆行列を求めてみましょう。



3.次の連立方程式を、行列を使って解いてみましょう。



4.直交座標平面上の各点を次のように動かすとき、どこの点に移るでしょうか。

点(2,2)にある点を、原点を中心に反時計回りに30度回転させる

解答・解説

セクション1の解答

この答えを次のように書くこともできます。





問題の式は次のように書き換えられます。



すると、

(1,1)成分 = cos(60) x cos(60) - sin(60) x sin(60)
                = cos(2 x 60)
                =cos(120)

(1,2)成分 = - cos(60) x sin(60) - sin(60) x cos(60)
               = - 2 sin(60) cos(60)
               = - sin(2 x 60)
               = - sin(120)

(2,1)成分 = sin(60) x cos(60) + cos(60) x sin(60)
               = 2 sin(60) cos(60)
               = sin(2 x 60)
               = sin(120)

(2,2)成分 = - sin(60) x sin(60) + cos(60) x cos(60)
                = cos(2 x 60)
                = cos(120)

となります。

問題の式は、原点を中心に反時計回りに60度回転させるものです。

答えの式は、同様に120度回転させるものです。

問題の式は、「原点を中心に反時計回りに、60度回転を2回行う」と読むことができます。


セクション2の解答


逆行列の定義は、行列Aに対して

AB=BA=E

となる行列Bのことでした。

つまり、問題の行列と答えの行列の積を計算して、

単位行列Eになれば、検算が成功したことになります。


(1)行列式は

det = 1 x 4 - 2 x 3 
      = 6

となりますので、逆行列が存在します。


(2)行列式は

det = 1 x 1 - 0 x 0
     = 1

となりますので、逆行列が存在します。

単位行列Eの逆行列は、単位行列になります。


(3)行列式は

det = cosθ x cosθ - (-sinθ) x sinθ
      = 1

となりますので、逆行列が存在します。

cos(-θ) = cosθ

sin(-θ) = - sinθ

を思い出してみると、

答えの式は、原点を中心にθだけ回転させたものになります。



セクション3の解答
(1) x = -10 , y = 9
連立方程式を行列で表すと、次のような形になります。


左辺の係数行列をA、未知変数の行列をX、右辺をPとおくと

AX=P

のようなかたちになります。

行列Aの行列式は、

det(A) =  1 x 4 - 2 x 3
          =   - 2

となるので、Aの逆行列が存在します。

したがって、元の式において、AA^(-1)

EX = A^(-1) P

X = A^(-1) P

となり、未知変数が求まります。


(2)不定

この連立方程式を行列を使って表したとき、

係数行列の行列式は

det = 9 x 2 - (-3) x (-6)
      = 0

となります。よって、逆行列は存在しません。

連立方程式を調べてみると、

2本の式は同じであることが分かります。

これより解(x,y)は、

3x - y = 3 を満たす(x,y)の全体です。

よって、不定です。


セクション4の解答


求める点の座標を(x,y)と置くと、

次の計算をすればよいです





  • 1.次の行列を計算してみましょう
  • 2.次の行列の、逆行列を求めてみましょう。
  • 3.次の連立方程式を、行列を使って解いてみましょう。
  • 4.直交座標平面上の各点を次のように動かすとき、どこの点に移るでしょうか。
  • 解答・解説

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rintarou000

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