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一般教科
最終更新日 : 2021/02/23
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逆三角関数の導入と微分

逆三角関数の基礎について見ていきます。

逆関数

関数 f ( x ) , g ( x ) があったとします。

そして

f ( g ( x ) )   =  x 
g ( f ( x ) )   =  x

が成り立つときf ( x )  g ( x ) の関係といいます。

例えば、



は、互いに逆関数の関係にあります。

逆関数の関係にあるとき、

2つの関数のy=xになります。



逆関数の求め方

y=x^2の逆関数を求めることを考えます。(x>=0)

xと、

x=y^(1/2)となります。

関数の形は

y=・・・の形なので、yとxを交換して

y=x^(1/2)

が得られます。

指数関数の逆関数log

同様の方法では





の逆関数は出てきません。

そこで、新しい関数として

y=log x

というものを定義したのでした。

逆関数の定義を満たすので





となります。

逆三角関数その1

y=sin x はどうなるのでしょうか。

やはりxについて解こうと思っても解けません。

そこで、逆関数の定義を満たすよう、新しい関数を定義することを考えます。



アークサインと呼びます。

逆関数の定義を満たすので

sin(arcsinx) = x

となります。

arcsinのグラフは次のようになります。




逆三角関数その2

y=cos x の逆関数は



と定義されます。

アークコサインのグラフは次のようになります。



逆三角関数その3

y=tan x の逆関数は



と定義されます。

アークタンジェントのグラフは、次のようになります。




逆三角関数の微分

fgであれば

その微分は次のようになります。



arcsin x の微分は



ここで、



となるから


と書けます。(sin^2 + cos^2 = 1 を使っています)

したがって、



が得られました。

同様にして、arccos xの微分は


となります。

arctan xの微分は、やはり逆関数の微分の式から同様にして


と計算されます。
  • 逆関数
  • 逆関数の求め方
  • 指数関数の逆関数log
  • 逆三角関数その1
  • 逆三角関数その2
  • 逆三角関数その3
  • 逆三角関数の微分

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