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一般教科
最終更新日 : 2021/03/16
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数学の証明とは

数学という分野において『証明問題』はとても大切なものです。そんな証明問題の考え方やよく登場する証明方法についてご紹介します。

『証明問題』のむずかしさ

数学という分野において、というのは切っても切り離せない内容です。


証明問題でいつもどのように解いていけばいいのか、悩んでしまう学生の方も多いのではないでしょうか。
試験などでも配点が大きいうえに、計算問題ができるからといって証明問題ができるわけではありません。


今回は、そんな証明問題とはいったいどんなものなのかということと、代表的な証明方法をご紹介します。

証明とは



証明とは××使です。


証明問題とは、この導いていく過程を答えてください、という問題なんです。


別のもので置き換えて説明します。


目の前には様々な形のブロックがたくさんあるとします。
組み合わせることで新しい形を作り出すことができますよね。


このとき、あるすごくきれいな形が出来上がったとして、その作り方を他の人にも教えてくださいと言われているようなものなんです。


その時に他の人に教える流れ・手順が、証明ということです。


ここで大切なのが、すごくきれいなそのブロックの形の作り方は、たった1通りとは限らないことです。
同じ形を作るのにも、別のブロックを組み合わせて作ることができるときもあります。


なので、証明の解き方は1通りではないんです。


数学の証明において、様々な形のブロックというのが、定理や定義、そして問題文の条件から導ける数式などです。


たくさんのブロックを自分で持っていると、その証明を解くためのブロックの積み方を、何通りも思いつくことができます。


そして、実際の証明の解き方、つまりブロックの積み方の技術ですが、これはいろいろな方法を試したり、他の人の方法をまねてみるべきでしょう。


数学の証明におけるブロックの積み方は、様々なパターンがあります。
それを理解することで、新しく組み立てたい形があっても、それに対応したブロックの積み上げ、つまり証明の解き方ができるようになります。


最初のうちは思い通りの形にならなくても、だんだんとブロックがきれいに積みあがっていくように、証明問題も繰り返し取り組むことで解けるようになります。

代表的な証明方法



続いては、代表的な証明方法について紹介します。


1つ目はです。
背理法では、ある命題(例えば『○○は××である』)を示したいときに、その命題を否定した仮定をたてて(『○○は××でない』)、その仮定が矛盾していることを証明します。


仮定が矛盾しているので最初の命題が正しい、ということができるというわけです。


代表的な問題に、
というのがあり、これを解くときは√2が有理数であると仮定して、それが矛盾していることを証明します。


2つ目はです。


数学的帰納法は、数列など無限に並んだ数字の列が規則(ルール)にもとづいて並んでいるかの証明によく使われます。
証明問題では、『すべての自然数nに対して○○となることを証明せよ。』のように書かれていることが多いです。


ここでは、すべての自然数nに対して、1からnまでの和が
となることを、数学的帰納法で証明します。


証明の仕方は、まず1番目が成り立つこと、ここではn=1で成り立つことを示します。
するとn=1のとき、左辺は=1となり、右辺は、
となり、成り立つことがわかります。


次にn=k(kは1からnまでのどんな自然数でもいい)で成り立つとしたときにn=k+1でも成り立つことを示します。
n=kで証明したい式が成り立つとすると、
となります。


この両辺に(k+1)を足すと、
となります。


右辺は(k+1)でまとめることができるので、


右辺の1/2を括弧の外に出すと、
この式の形は、証明したい式のnを(k+1)としたときと同じです。
よって、n=k+1でも成り立つことがわかりました。


n=1で成り立つことが示されて、n=k(kは1からnまでのどんな自然数でもいい)で成り立つとするとn=k+1でも成り立つことが示されたので、すべての自然数nで成り立つことが示されました。


数学的帰納法は、並んだドミノが倒れていくような証明方法と言えます。
1枚目のドミノが倒れた時、2枚目のドミノも倒れます。
2枚目が倒れた時、3枚目も倒れます。
これをくり返していくような証明といえます。

証明問題には知識と技術が必要

今回は、証明とはどのようなものなのか、証明問題はどんな風に考えればいいのかをお話しして、代表的な証明問題をご紹介しました。


証明問題を解くには、知識と技術の両方が必要です。


様々なブロックを手に入れながら、そのブロックをどのように組み合わせるといいのかを考えていけるといいですね。
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