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一般教科
最終更新日 : 2021/03/10
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パスカルの三角形と二項定理

学校の授業で学ぶ展開公式が、さらに不思議な世界へ連れて行ってくれるお話です。

展開公式の学習



このような展開公式は、中学数学と高校数学で学習します。
知らなくても数式の展開は可能ですが、知っていることで計算が少し楽になりますし、複雑な計算が可能になります。


これらを一般化、つまり
という形で展開したものをと言います。
つまり(x+y)の数が4、5、…と増えていっても、同じような形で記述することができるというわけなんです。


また、という数字の列と、二項定理を展開した時の文字式の係数を並べたものが一致しており、前後の式同士関連性があることがわかっています。


今回は、二項定理の一般項について学びながら、パスカルの三角形の成り立ちと性質について考えていきましょう。

パスカルの三角形の成り立ち

パスカルの三角形のつくり方のルールは次の通りです。


まず、最も上の1段目に1を付します。


2段目以降の両端には1を、それ以外の位置には右上と左上の数の和を付します。
例えば5段目の左から3番目(真ん中)は、右上の3と左上の3の和である6が入ります。


このように6段目まで並べていくと、次の図のようになります。



このように作られたパスカルの三角形は、見た目にも美しく感じます。


そして、二項定理の係数と一致することが知られているんです。
例えば3段目の1、2、1というのは
という展開公式の係数(xyの係数は2、など)と一致しています。


他の段でも同様で、(x+y)の個数がn個の場合は、パスカルの三角形のn+1段目の数字を見れば答えが出てきます。


なお一番上の1段目は
ということから、成り立つことがわかります。


このパスカルの三角形のような考え方は、10世紀のインドなどでも使われていることがわかっています。

二項定理は組み合わせ

パスカルの三角形に現れる二項定理の係数というのは、実際には「」を数え上げているもので、パスカルの三角形は組み合わせの数を並べていることになります。


の一般項(第r項)は、
と表すことができ、この『C』が組み合わせを表しています。


これは、
のように表したときに、どの括弧の中から、どちらの文字を取り出すのかの組み合わせを考えているということなんです。


少し言い回しが難しいですが、xやyの個数の組み合わせではなく、xやyの『入っている括弧』の組み合わせを考えることになります。


この理解がないと、二項定理の一般項がなぜこのような形になるのか、難しく感じてしまうかもしれません。

パスカルの三角形の性質



パスカルの三角形と二項定理の関係性がわかったところで、パスカルの三角形の性質を紹介します。


パスカルの三角形を右上から左下の方向に見ていくとすると、2段目の1から見ると自然数の列(1、2、3…)、3段目の1からだと三角数の列(ボーリングのピンのような配置の球の数のことです)、4段目の1からだと三角錐数の列(三角錐のように球を並べて積み上げた時の球の数のことです)になります。


また、パスカルの三角形の奇数部分を塗りつぶしていくとこの章の画像になっている『シェルピンスキーのギャスケット』という美しいフラクタル模様(自己相似などの幾何学模様)を表します。


このようにパスカルの三角形は、非常に規則的な姿を見せてくれるんです。

幾何学と代数学の交わるところ

パスカルの三角形と二項定理の関係を見てきましたが、非常に近い関係があることがわかりました。


パスカルの三角形は幾何学的意味も持つため、二項定理が単なる代数的な計算問題だけではなく、幾何学的な内容にも触れていることに気づかされますね。
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