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一般教科
最終更新日 : 2021/03/12
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初等幾何の定理 その使い方・考え方

どうもこんにちは、さとうです。

皆さんは初等幾何は得意ですか?(私は苦手でした。)
中には「幾何」と聞いただけで、トラウマが蘇り、背筋が凍り、寒イボの立つ方がいると思われます。
また、「幾何に公式とは何ぞや!」「幾何に公式は必要ない。」と言う方もいると思います。

気持ちはわかります。自分もそうだったので。
しかし、公式を覚えたことで、その大切さを身にしみて理解することができました。
もちろん、公式は文字の羅列としてではなく、意味と一緒に覚えるべきです。(証明もともに


その上で公式を覚えると、試験中に考えることが減り、より問題に集中して取り組むことができます。
この記事で紹介する定理は、あまり教科書には載っていないような、
また、入試にもあまり登場しない定理ですが、覚えておいて損はしません。

一緒に見ていきましょう。

そもそも初等幾何とは?

そもそも初等幾何とはなんでしょうか。
初等幾何とはl簡単に言うと図形問題の中で、知識が無くても解ける問題のことを言います。
ここで言う知識とは、例えば三角関数などのことを指します。
これはこれでとても便利なので、ぜひ習得していただきたいのですが、
この記事では初等幾何についてお話しします。

なお、以下登場する定理は証明を省かせていたたきます。
調べてみる、でも構いませんが、できれば自身で証明に取り組んでもらいたいです。

トレミーの定理(Ptolemy's theorem)

先ほども記したように、初等幾何の問題は知識がなくても解けます。
しかし、公式をある程度覚えておくことで、かなり難易度の高い問題も解けるようになります。
だから、自分としてはしっかり覚えておくことをお勧めします。

話は逸れましたが、早速解説していきます。

まず最初は「から。これは、

という定理です。
図形で見るとこのようになります。


この定理は、「です。
また、四角形ABCDにおいて上の等式がなりたてば、四角形ABCDは円に内接することが
一般に知られています。

」という表現は、「使」という意味です。
本来、教科書に記載されていない知識を解答に記述してはいけないのですが、
この表現を参考書などに書かれていた場合においてはその限りではないということです。

さて、この定理ですが、その使い道は主に2つ。
調
2.調

1については高校数学ではあまり出てこない、というか「三角関数」の存在が強すぎるので、
わざわざ使おうとは思いませんが、
2はあまりにも意表を突く問題になるので、誘導が付いてくると思います。

デザルグの定理(Desargue's theorem)

次に、「」を紹介します。
これは、
ABCA'B'C'AA'BB'CC'OBC,B'C'P
CAC'A'QABA'B'RPQR
という定理です。
図形を描いてみると以下のようになります。


この定理は有名な「」の応用となる定理です。

「デザルグの定理」は、その逆も成り立ちます。
PQRAA'BB'CC'

この定理は「メネラウスの定理」のように線分の長さや比を求めることはできませんが、
」のにつかいます。

また、将来大学にて数学を学ぶという方は、「射影幾何学」という学問で再会するやもしれません。
(「射影幾何学」というのは、初等幾何とはまた別の図形についての学問です。
本当に初等幾何とは打って変わって異なるので、常識を覆された気分になります。
興味の湧いた方はぜひ調べて見てください。)

中線定理(Parallelogram theorem)

最後に紹介するのは「」です。
ABCBCMAB^AC^AM^2BM^2
という定理になります。図に起こすと以下のようになります。


一般に線分の長さの2乗が登場したら、「三平方の定理」や「余弦定理」を考えると思います。
しかし、それに加えて、中点もしくは中線という言葉がでてきたら、この「中線定理」を考えてみてください。

この定理の使い道は、

この一点に尽きます。
しかし、とても便利なのでぜひおぼえてください。

因みにですが、
ので注意してください。

まとめ

以上が自分の紹介したい定理たちになります。
これらの定理はマイナーで、あまり入試問題に出てくることはありません。
それゆえ、知らないという受験生がほとんどなので、知っているだけでほかの
受験生と差をつけることができます。

この記事では、定理の証明を載せることはしませんでした。
それは、読者に自力で証明してほしかったからです。
用いる知識は精々が高校1年生程度のものです。
ぜひ挑戦してみてください。

ほかにも紹介したいものがあるのですが、
これまでにしておきます。

最後まで読んでいただいてありがとうございました。
  • そもそも初等幾何とは?
  • トレミーの定理(Ptolemy's theorem)
  • デザルグの定理(Desargue's theorem)
  • 中線定理(Parallelogram theorem)
  • まとめ

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さとう

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