そもそも初等幾何とはなんでしょうか。
初等幾何とはl簡単に言うと図形問題の中で、知識が無くても解ける問題のことを言います。
ここで言う知識とは、例えば三角関数などのことを指します。
これはこれでとても便利なので、ぜひ習得していただきたいのですが、
この記事では初等幾何についてお話しします。

なお、以下登場する定理は証明を省かせていたたきます。
調べてみる、でも構いませんが、できれば自身で証明に取り組んでもらいたいです。

先ほども記したように、初等幾何の問題は知識がなくても解けます。
しかし、公式をある程度覚えておくことで、かなり難易度の高い問題も解けるようになります。
だから、自分としてはしっかり覚えておくことをお勧めします。

話は逸れましたが、早速解説していきます。

まず最初は「トレミーの定理」から。これは、
「円に内接する四角形において、向かい合う辺の長さの積の長さの和は、対角線の長さの積に等しい」
という定理です。
図形で見るとこのようになります。


この定理は、「円とそれに内接する四角形の対角線について問題で述べられたときに考える定理」です。
また、四角形ABCDにおいて上の等式がなりたてば、四角形ABCDは円に内接することが
一般に知られています。

「一般に知られている」という表現は、「入試において名前を出せば証明せずとも使用してよい」という意味です。
本来、教科書に記載されていない知識を解答に記述してはいけないのですが、
この表現を参考書などに書かれていた場合においてはその限りではないということです。

さて、この定理ですが、その使い道は主に２つ。
１．円に内接する四角形の辺、ないしは対角線の長さを調べる
2.辺と対角線の長さが与えられた四角形が円に内接するかを調べる

１については高校数学ではあまり出てこない、というか「三角関数」の存在が強すぎるので、
わざわざ使おうとは思いませんが、
２はあまりにも意表を突く問題になるので、誘導が付いてくると思います。

次に、「デザルグの定理」を紹介します。
これは、
「⊿ABC、⊿A'B'C'において、AA'、BB'、CC'が一点Oで交わるなら、直線BC,B'C'の交点をP
直線CA、C'A'の交点をQ、直線AB、A'B'の交点をRとすると、３点P、Q、R、は同一直線上にある」
という定理です。
図形を描いてみると以下のようになります。


この定理は有名な「メネラウスの定理」の応用となる定理です。

「デザルグの定理」は、その逆も成り立ちます。
「上と同じ３点P、Q、Rが同一直線上にあるなら、直線AA'、BB'、CC'は１点で交わる」

この定理は「メネラウスの定理」のように線分の長さや比を求めることはできませんが、
「ある条件下の３点が同一直線上にあることを証明する」のにつかいます。

また、将来大学にて数学を学ぶという方は、「射影幾何学」という学問で再会するやもしれません。
（「射影幾何学」というのは、初等幾何とはまた別の図形についての学問です。
本当に初等幾何とは打って変わって異なるので、常識を覆された気分になります。
興味の湧いた方はぜひ調べて見てください。）

最後に紹介するのは「中線定理」です。
「⊿ABCの辺BCの中点をMとするとき、AB^２＋AC^２＝２（AM^2＋BM^2）」
という定理になります。図に起こすと以下のようになります。


一般に線分の長さの2乗が登場したら、「三平方の定理」や「余弦定理」を考えると思います。
しかし、それに加えて、中点もしくは中線という言葉がでてきたら、この「中線定理」を考えてみてください。

この定理の使い道は、
「辺もしくは中線の長さを求める」
この一点に尽きます。
しかし、とても便利なのでぜひおぼえてください。

因みにですが、「中線定理」の逆は成り立ちません
ので注意してください。