今回は、関数とはどんなものなのか、そしてその中でも基本となる「比例」「反比例」について学んでいます。


前編では、関数という少し捉えづらい考え方を、買い物という具体的なイメージを通して学ぶことができました。


今回は、関数の中で初めに学ぶ「比例」「反比例」というものについて、考えていきます。

関数の中でも特に、２つの変数x、yが、
という関係式で表せるとき、yはxに比例すると言います。


ここで登場するaは、比例定数といい、ある定まった数のことです。


つまり、
や、
という式の２や1/3のことを比例定数と言います。


比例する関数の特徴はまず、xとyの増え方、減り方が同じだということです。
xが２倍になると、yも２倍になります。xが-5倍になると、yも-5倍になります。


例えば、小さなキューブチョコを縦横に並べるとして、縦に４個分、横にx個分並べた時の全部の個数をy個とします。
このとき、yとxの関係は、
と表すことができ、比例と言えます。


横に２個分並べると全部で８個、横に４個並べると全部で16個、横に６個並べると全部で24個になることから、xが２倍、３倍になると、yも２倍、３倍となることがわかります。


続いての特徴は、グラフが直線になることです。
上のグラフは、
という比例する関数を表したものです。


見てわかるとおり、直線で表されます。
見た目にも特徴的な関数だと言えます。


このような特徴を持つのが比例なんですが、実は比例というのは、１次関数というものの中の特殊な形、ということになっているんです。


１次関数というものは中学２年生で学ぶ内容です。
という形で表されるのが１次関数というもので（a、bは定数）、そのうちb=0のものを特に比例と言っています。


つまり、比例というのは関数の基礎となるものと言えるでしょう。

２つの変数x、yが、
という関係式で表せるとき、yはxに反比例すると言います（aは比例定数）。
や、
というものが、反比例ということになり、この式の中の４や1/3が比例定数です。


反比例する関数の特徴はまず、xとyの増え方、減り方が逆数になるということです。
xが２倍になると、yは1/2倍になります。xが-1/5倍になると、yは-5倍になります。
これが比例と反比例の大きな違いです。


例えば、面積を20cm^2となる長方形を作るとき、縦の長さをxcm、横の長さをycmとすると、
という式が作れて、変形すると、
となり、これは反比例だとわかります。


x=5cmとするとy=4cmとなり、x=10cmとするとy=2cmとなることから、xが２倍になるとyが1/2倍になることがわかります。


また、
と表せたように、xとyの積が一定になるのも特徴です。

グラフは、上のような形になります。
これは、
と反比例する関数をグラフにしたものです。


特徴としては、グラフの傾きが緩やかなところと急なところがあることです。
つまり、xかyのどちらかの変数が十分に大きくなったとき、もしくは十分に小さくなったとき、そこからさらに大きくしたり小さくしたりしても、もう一方の変数はほとんど変化しなくなるということなんです。


ちなみに、この時グラフが近づいていく直線を、漸近線（ぜんきんせん）と言います（この言葉は高校で学びます）。