設置
消す
ボーダー
背景
ライン
文字
向き
クリア
引く
消す
ライン
太さ
クリア
カラー
太さ
濃さ
種類
クリア
開始
赤文字
消す
使用
クリア
カテゴリーカバー画像
一般教科
最終更新日 : 2021/04/16
記事のサムネイル

比例・反比例とはどんな関数か(後編)

関数について、そして「比例」「反比例」について学んでいます。前編からご覧ください。

前編のあらすじ

今回は、関数とはどんなものなのか、そしてその中でも基本となる「比例」「反比例」について学んでいます。


前編では、関数という少し捉えづらい考え方を、買い物という具体的なイメージを通して学ぶことができました。


今回は、関数の中で初めに学ぶ「比例」「反比例」というものについて、考えていきます。

比例



関数の中でも特に、2つの変数x、yが、
という関係式で表せるとき、yはxに比例すると言います。


ここで登場するaは、比例定数といい、ある定まった数のことです。


つまり、
や、
という式の2や1/3のことを比例定数と言います。


比例する関数の特徴はまず、xとyの増え方、減り方が同じだということです。
xが2倍になると、yも2倍になります。xが-5倍になると、yも-5倍になります。


例えば、小さなキューブチョコを縦横に並べるとして、縦に4個分、横にx個分並べた時の全部の個数をy個とします。
このとき、yとxの関係は、
と表すことができ、比例と言えます。


横に2個分並べると全部で8個、横に4個並べると全部で16個、横に6個並べると全部で24個になることから、xが2倍、3倍になると、yも2倍、3倍となることがわかります。


続いての特徴は、グラフが直線になることです。
上のグラフは、
という比例する関数を表したものです。


見てわかるとおり、直線で表されます。
見た目にも特徴的な関数だと言えます。


このような特徴を持つのが比例なんですが、実は比例というのは、1次関数というものの中の特殊な形、ということになっているんです。


1次関数というものは中学2年生で学ぶ内容です。
という形で表されるのが1次関数というもので(a、bは定数)、そのうちb=0のものを特に比例と言っています。


つまり、比例というのは関数の基礎となるものと言えるでしょう。

反比例

2つの変数x、yが、
という関係式で表せるとき、yはxに反比例すると言います(aは比例定数)。
や、
というものが、反比例ということになり、この式の中の4や1/3が比例定数です。


反比例する関数の特徴はまず、xとyの増え方、減り方が逆数になるということです。
xが2倍になると、yは1/2倍になります。xが-1/5倍になると、yは-5倍になります。
これが比例と反比例の大きな違いです。


例えば、面積を20cm^2となる長方形を作るとき、縦の長さをxcm、横の長さをycmとすると、
という式が作れて、変形すると、
となり、これは反比例だとわかります。


x=5cmとするとy=4cmとなり、x=10cmとするとy=2cmとなることから、xが2倍になるとyが1/2倍になることがわかります。


また、
と表せたように、xとyの積が一定になるのも特徴です。

グラフは、上のような形になります。
これは、
と反比例する関数をグラフにしたものです。


特徴としては、グラフの傾きが緩やかなところと急なところがあることです。
つまり、xかyのどちらかの変数が十分に大きくなったとき、もしくは十分に小さくなったとき、そこからさらに大きくしたり小さくしたりしても、もう一方の変数はほとんど変化しなくなるということなんです。


ちなみに、この時グラフが近づいていく直線を、漸近線(ぜんきんせん)と言います(この言葉は高校で学びます)。

関数という世界の入口

今回は2回にわたって、関数とはどんなものなのかということ、そして「比例」「反比例」というものの基本について学んできました。


「比例」「反比例」というのは、これから関数を学ぶにあたってとても重要で基本的な内容です。


なのでまだまだ関数という世界の入口に立ったばかりです。ここからさらに足を踏み入れて、様々な関数と出会っていってください。
サムネイル一般教科

比例・反比例とはどんな関数か(前編)

pv600 / up1年前

  • 前編のあらすじ
  • 比例
  • 反比例
  • 関数という世界の入口

この記事を書いたユーザー

ユーザーカバー画像 ユーザーアイコン

つきみだけ

記事 : 7

登録 : 1 (Subscription : 0)

算数・数学に関する、様々な情報をご紹介していきます。考える数学・取り組む数学・見つける数学。

コメント

キャンセル
コメント

記事を報告

報告
キャンセル