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一般教科
最終更新日 : 2021/02/22
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行列の基礎3(最終回)

固有値と固有ベクトルの導出について見ていきます。
その後、行列の対角化について見ていきます。

固有値と固有ベクトル

行列Aを作用させることによって、ベクトル(x,y)が次のように変換することを考えます

λ(ラムダ)は実数です。
この式は、ベクトル(x,y)に行列Aを作用させるとき、

ベクトル(x,y)がそのスカラー倍(実数倍)に変換していることを意味しています(つまり向きが変わっていない)。

このとき、λを、このときのベクトル(x,y)をといいます。

行列Aという変換をしたときに、方向が変わらないベクトルが固有ベクトルです。

(固有値は実数なので、マイナスの場合もあります。

このとき固有ベクトルは正反対の向きにはなります。

このときも同じ直線上に乗っているので、同じ方向に含めます。)



固有ベクトルの大きさ

固有ベクトルの定義からは、固有ベクトルの大きさは決まりません。

そこで、あとあとの計算が簡単になるよう、

固有1となるようにすることがよく行われます。

これをするといいます。

規格化は、ベクトルの大きさを求めて、その大きさでベクトルを割ってやればよいです。



固有値、固有ベクトルを求めてみる

行列Aが次の形で、



求める固有値をλ、対応する固有ベクトルを(x,y)とします。

固有値の定義の式は


でした。

右辺は、次のように書いても同じことです。


では、固有値の定義の式にもどって、左辺の式を右辺へ移行してみましょう




ここで、λEーAは



という意味になっています。

いま、この行列λEーAが逆行列を持ったとします。

すると、





となります。

つまり、行列λEーAが逆行列を持ったとき、ベクトル(x、y)は零ベクトルになります。

方向を持たないので、

この結果は、「行列λEーAが逆行列を持ったとした」からです。

λ

λEA

ことが必要になります。

逆行列を持たないということは、行列式

det(λEA)=0

ということです。

det(λEーA) = ( λ ー a ) ( λ ー d ) - ( - b ) ( - c )  =  0

となります。この式をとよびます。

この方程式を解くと固有値λが求まります。

得られた固有値を



に代入すると、対応するが求まります。

行列の対角化

2次の正方行列Aの固有値を求めたとき、

異なる固有値が2つ出てきたときを考えましょう。

(行列Aが2次の正方行列のとき、

固有値方程式は2次方程式ですので、

重解のときを除けば、異なる固有値が2つ出てきます。)

いま、異なる固有値が2つ、対応する固有ベクトルが2つありますので、

固有値の定義の式から、次の二つの式が手元にあることになります。

x1、x2はそれぞれ固有ベクトルです。

これら2つの式を行列でまとめると、次のような形になります



対角線上にある(1,1)成分、(2,2)成分に値があって、

それ以外の成分が0である行列をといいます。


固有ベクトルの行列を


と表現しましょう。

すると

のようになります。

この両辺に左からPの逆行列をかけると


となります。

このように行列Aを対角行列に変形することを



といいます。

行列を対角化すると、高次の行列の計算が楽になります。


(参考)

すべての行列が対角化できるというわけではないことは心にとめておきましょう。
  • 固有値と固有ベクトル
  • 固有ベクトルの大きさ
  • 固有値、固有ベクトルを求めてみる
  • 行列の対角化

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