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一般教科
最終更新日 : 2021/02/21
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行列の基礎2

行列の基本的な使い方について見ていきます。

行列の累乗

行列の累乗は次のような意味です。



ケーリー・ハミルトンの定理

行列Aが


のとき


が成り立ちます。

ケーリーハミルトンの定理は、特に高次の行列の次数を下げるときに使われたりします。

a+dを行列Aのトレースとよび、

tr(A)

と書きます。

ad-bcを行列Aのデターミナントや行列式とよび

det(A)

| A |

Δ(A)

などとかきます。

逆行列

正方行列Aについて、

AX=XA=E

を満たす正方行列Xが存在するとき、

XをAの逆行列

といい、



と表します。

逆行列は、行列によって存在するときと存在しないときがあります。

2次の正方行列の逆行列

行列Aに対して

 A  det(A)  0

となります。

このときAの逆行列は


となります。

連立1次方程式を行列で解く

連立1次方程式が次のように与えられたとします

未知変数はx,y

係数はa,b,c,dとします。


これを行列で書くと、次のようになります


係数にあたる行列を係数行列といいます。

簡略化すると次のようにまとまります。


ここで、Aが逆行列を持つとき、求めるべき答えは、A

となります。(行列の積は交換法則が成り立ちませんので積の順番に注意してください)。

行列Aが逆行列を持たないときは、行列を使って解くことができません。

具体的にはどういう場合でしょうか。


例えば次のような連立1次方程式があるとします。


このとき、解(x,y)はただ1組に決まりません。

この方程式はであるといいます。


また、次のような連立方程式を考えてみます。


このとき、解はありません。

このような方程式をであるといいます。

点の移動を行列で表す

座標上の点の移動を行列で表すことができます。

これまでは、座標上の点を(a,b)のように書いていたかと思いますが、

これを、行列表示では列ベクトルの形に(縦に成分を並べて)書くようにします。

(ただし記事の文章では書きやすさのため点の座標を(a,b)と書いていたりします。)


最初(x,y)にある点を、ある操作をすることで点(x’,y’)に移動したときを考えます

この操作が次の行列の形にかけるとき、

この操作fを一次変換といいます。

f : (x,y) (x,y)



対称移動を表す行列

行列によって、座標上にある点の移動を記述することができます。


(i)x

座標上の点が

f:(x,y)(x,y)=(x,-y)





というような移動をするとき

と書くことができます。



(ii)y

f:(x,y)(x,y)=(-x,y)





という移動では


と書くことができます。


(iii)

f:(x,y)(x,y)=(-x,-y)





という移動は

となります。


(iv)y=x

f:(x,y)(x,y)=(y,x)





という移動は


と書けます。


(v)

f:(x,y)(x',y')






この点の移動は

と書くことができます。

行列の基礎3(最終回)

サムネイル一般教科

pv661 / up1年前

  • 行列の累乗
  • ケーリー・ハミルトンの定理
  • 逆行列
  • 2次の正方行列の逆行列
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  • 点の移動を行列で表す
  • 対称移動を表す行列

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