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一般教科
最終更新日 : 2021/02/20
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テイラー展開からオイラーの公式まで

関数を多項式で近似するテイラー展開について見ます。
そのあとオイラーの公式を導出します。

関数の近似

一変数関数 y = f ( x )を考えます。

この関数上の点x=aでの接線の方程式は

y = f ( a ) + f ’ (a) ( x - a )



となります。

ここで、x=a付近についてよく見てみましょう。

関数f(x)と接線が、非常に近い距離にあることが分かります。

つまり、

x=aのあたりではf(x)の値は、接線の方程式でできます。

これを

f ( x ) ≒ f ( a ) + f ’ (a) ( x - a )

と表現します。

x=a式ですので、

x=aから離れていくと、近似が成り立たなくなります(近似の精度が悪くなります)。

そこで近似を改良しましょう。

まず、近似式の両辺をxで微分します。

f ’ (x) ≒ f ’ (a)

この式は、x=aのあたりで f ’ ( x )が、

一定の値 f ’ ( a ) をとるように近似することを示しています。

しかし、実際には f ’ ( x ) は一定の値ではなく、変化をしています。

その変化の大きさは f ’’ ( a ) で表せます。

f ' ( x )の世界で x = a での接線を引くように変更するとよさそうです。

 f ’ ( x ) ≒ f ’ ( a ) + f ’’ ( a )( x - a )

これは、最初の近似式を次のように変更したことに対応します。



実際に微分してみると確かめられます。

テイラー展開

このような計算を繰り返すと



というような式が得られます。

これを、x=aと呼びます。

x=0は特にと呼びます。

主な関数のマクローリン展開

は次のような形です。


sinの場合のグラフを見てみましょう



赤の線がy=sin(x)です。

緑の線がy=xです。

sinのマクローリン展開を、xの1次まで行ったときのグラフです。

x=2のあたりでは大きくsin(x)から離れています。

水色の線は、sinのマクローリン展開をxの5乗までしたときのグラフです。

x=2のあたりまでうまく近似できているのが分かります。

オイラーの公式

これまで変数として実数(ふつうの数直線上の数)を取り扱ってきました。

テイラー展開によって、関数を多項式展開すると、

関数の新たな意味を広げることができる場合があります。

例として、

指数関数のテイラー展開したとき、その変数を複素変数zに置き換えてみると


となります。

これが複素数の世界での指数関数となります。

ここでz=iθ(iは虚数単位、θは実数)とおくと







となります。

整理された最後の二項をよく見ると、三角関数の展開の式であることがわかります。

したがって、





という関係式が得られることになります。

これをと呼びます。

複素数の世界まで広げれば

複素数の世界での指数関数は、周期2πをもつことが

オイラーの公式から分かります。

指数関数と三角関数は複素数の世界では似たもの同士の性質を持つということです。

オイラーの公式から、複素数の世界の三角関数を表すことができ





のような形となります。

  • 関数の近似
  • テイラー展開
  • 主な関数のマクローリン展開
  • オイラーの公式

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